การหาค่าฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ (mode)

การหาค่าฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ (mode)

การหาค่าฐานนิยมจากข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้นทําได้หลายวิธี  แต่วิธีง่าย ๆ วิธีหนึ่งก็คือ

การใช้จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่เป็นค่าโดยประมาณของฐานนิยม  สําหรับการหาว่าฐานนิยมจะอยู่ในอันตรภาคชั้นใดนั้น  

จะต้องพิจารณาด้วยว่าอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นมีความกว้างเท่ากันหรือไม่ ถ้าทุกอันตรภาคชั้นมีความกว้างเท่ากัน  อันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่คืออันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด

แบบที่ 1 หาค่าฐานนิยมโดยใช้จุดกึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด (แบบง่าย)

ตัวอย่างที่ 1 จงหาฐานนิยมจากข้อมูลในตารางต่อไปนี้

            อันตรภาคชั้น             ความถี่

            10 – 19                      4

            20 – 29                      5

            30 – 39                      12

            40 – 49                     15

            50 – 59                     8

            60 – 69                     3

   

วิธีทํา เนื่องจากอันตรภาคชั้น  40 – 49  

       มีความถี่สูงสุด  และมีจุดกึ่งกลางชั้น คือ  44.5

       ดังนั้น    ค่าฐานนิยมเท่ากับ 44.5

แบบที่ 2 หาค่าฐานนิยมโดยใช้การเทียบบัญญัติไตรยางค์ความถี่ชั้นที่ติดกันกับชั้นที่มีความถี่สูงสุด

ถ้าต้องการทราบฐานิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ชุดใด ๆ  สามารถหาได้ตาม

ขั้นตอนดังนี้

1. เรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก (ปกติข้อมูลที่แจกแจงความถี่จะเรียงอันตรภาคชั้นจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยอยู่แล้ว)

2. ให้ถือว่าชั้นที่ความถี่สูงสุดเป็นชั้นที่มีฐานนิยมอยู่  สามารถหาค่าของฐานนิยมจากสูตร

เมื่อ L   คือ ขอบล่างของชั้นที่ฐานนิยมอยู่

     I   คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น

     d1  คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมกับชั้นที่ข้อมูลต่ํากว่า

     d2  คือ ผลต่างของความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมกับชั้นที่ข้อมูลสูงกว่า

ตัวอย่างที่  2 จงหาฐานนิยมจากข้อมูลในตารางต่อไปนี้

           อันตรภาคชั้น             ความถี่

               10 – 19                  4

               20 – 29                 5

ใช้สัญลักษณ์ Med

ใช้สัญลักษณ์ Med คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

   การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
   หลักการคิด
   1 ) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
    2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =  เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

    3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

 ข้อควรสนใจ
1. เนื่องจากตำแหน่งกึ่งกลางเป็นตำแหน่งที่เราจะหามัธยฐาน ดังนั้น เราจะเรียกตำแหน่งนี้ว่า ตำแหน่งของมัธยฐาน
2. เราไม่สามารถหาตำแหน่งกึ่งกลางโดยวิธีการตามตัวอย่างข้างต้น เพราะต้องเสีย เวลาในการนำค่าจากการสังเกตมาเขียนเรียงกัน        ทีละตำแหน่ง ดังนั้น เราจะใช้วิธีการคำนวณหา โดยสังเกตดังนี้

       ตำแหน่งมัธยฐาน = 

3. ในการหามัธยฐาน ความสำคัญอยู่ที่ นักเรียนต้องหาตำแหน่งของมัธยฐานให้ได้ เสียก่อนแล้วจึงไปหาค่าของข้อมูล ณ ตำแหน่งนั้น

ตัวอย่าง กำหนดให้ค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดหนึ่ง มีดังนี้
                      5, 9, 16, 15, 2, 6, 1, 4, 3, 4, 12, 20, 14, 10, 9, 8, 6, 4, 5, 13
                       จงหามัธยฐาน
    วิธีทำ เรียงข้อมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20

  

ตำแหน่งมัธยฐาน =  =  = 10.5

       ค่ามัธยฐาน =   = 7

การหามัธยฐานของข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น
   ขั้นตอนในการหามัธยฐานมีดังนี้
   (1)     สร้างตารางความถี่สะสม

   (2)หาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ          เมื่อ N เป็นจำนวนของข้อมูลทั้งหมด

   (3) ถ้า    เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นนั้นเป็นชั้น มัธยฐาน และมีมัธยฐานเท่ากับขอบบน        ของอันตรภาคชั้นนั้น ถ้า  ไม่เท่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดเลย อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า 

เป็นชั้นของมัธยฐาน และหามัธยฐานได้จากการเทียบบัญญัติไตรยางค์ หรือใช้สูตรดังนี้      จากข้อมูลทั้งหมด N จำนวน ตำแหน่งของมัธยฐานอยู่ที่ 

        Med = 

          เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

 คือ ผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

      f M คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
         I คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
       N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ตารางที่มีชั้นแบบเปิด จะหา  ไม่ได้ แต่หามัธยฐานและฐานนิยมได้ ถ้าตำแหน่ง
เท่ากับความถี่สะสม ( หรือเป็นตัวสุดท้ายของชั้น ) ให้ตอบขอบบนของชั้นนั้น

ฐานนิยม

ฐานนิยม คือ ค่าที่มีความถี่สูงสุด เมื่อเปรียบเทียบกับค่าอื่นในข้อมูลชุดเดียวกัน แต่ในบางชุดของข้อมูลอาจจะไม่มีค่านิยมก็ได้ โดยทั่วไปฐานนิยมมักใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพ

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
  หลักการคิด- ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด มีการซ้ำกันมากที่สุด( ความถี่สูงสุด) ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
   หมายเหตุ
- ฐานอาจจะไม่มี หรือ มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้
  สิ่งที่ต้องรู้
1. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่เท่ากันหมด เช่น ข้อมูลที่ประกอบด้วย 2 , 7 , 9 , 11 , 13 จะพบว่า แต่ละค่าของข้อมูลที่แตกต่างกัน จะมีความถี่เท่ากับ 1 เหมือนกันหมด ในที่นี้แสดงว่า ไม่นิยมค่าของข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งเป็นพิเศษ  ดังนั้น เราถือว่า ข้อมูลในลักษณะดังกล่าวนี้ ไม่มีฐานนิยม2. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่สูงสุดเท่ากัน 2 ค่า เช่น ข้อมูลที่ ประกอบด้วย 2, 4, 4, 7, 7, 9, 8, 5 จะพบว่า 4 และ 7 เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากับ 2 เท่ากัน ในลักษณะเช่นนี้ เราถือว่า ข้อมูลดังกล่าวมีฐานนิยม 2 ค่า คือ 4 และ 7
 3. จากข้อ 1, 2, และตัวอย่าง แสดงว่า ฐานนิยมของข้อมูล อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามีอาจจะมีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
   การประมาณอย่างคร่าวๆ
   ฐานนิยม คือ จุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด
   ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาฐานนิยมโดยประมาณอย่างคร่าวๆ

คะแนน	ความถี่
20-29 30-39 40-49 50-59 60-69	2 10 15 13 5

อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 40-49

                                                จุดกลางชั้น คือ   ( 49+40)/2=89/2=44.5

ดังนั้น ฐานนิยมโดยประมาณ คือ 44.5

คุณสมบัติที่สำคัญของฐานนิยม
1.     ฐานนิยมสามารถหาได้จากเส้นโค้งของความถี่ และฮิสโทแกรม
2.    ในข้อมูลแต่ละชุด อาจจะมีฐานนิยมหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามี อาจจะมีเพียงค่าเดียว หรือหลายค่าก็ได้
3.   ให้ X 1, X 2, X 3, ….., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า X 1+k, X 2+k, X 3+k, …., X N+k เป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo + k
4.   ให้ X 1, X 2, X 3, …., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว ซึ่ง k =/= 0 จะได้ว่า kX 1, kX 2, kX 3, …, kX N จะเป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ kMo
       คุณสมบัติข้อที่ 3 และ 4 ก็เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน กล่าวคือ ถ้านำค่าคงตัวไปบวก หรือคูณกับค่าจากการสังเกตทุกตัวในข้อมูลชุดหนึ่ง ฐานนิยมของข้อมูลชุดใหม่นี้ จะเท่ากับ ฐานนิยมของข้อมูลชุดเดิม บวกหรือคูณกับค่าคงตัวดังกล่าว ตามลำดับ ( อย่าลืม ! ถ้าเป็นการคูณ ค่าคงตัวที่นำไปคูณไม่เท่ากับศูนย์)